新高考数学“数”和“形”如何快速转化?学会做题速度翻倍
高中 来源:网络 编辑:微尘 2024-04-03 16:16:30

  高考的选择题和填空题中大约有30%可以通过直接绘图解决(这种方法速度快、准确、有效),尤其是当题目中出现“任意”、“均有”、“恒成立”等特定术语时。为了更好地理解数形转化以及其难点,我们将分别以向量三角形和圆锥曲线作为实例来进行说明。

高考数学提升

  一、“数”到“形”转化的难点

  在实践中发现,许多同学对于直接通过绘图解答存在着诸多困难。这种困难的原因何在?可能是因为他们对基本的公式、定理、性质缺乏深入理解,无法充分运用题目给出的条件。以下是一个例子(改编自2017年高考题)。

  数学题目

  【解析】这道题的难点在于,很多同学看不出命题意图。例如,向量a加向量b等于向量c表达的是什么意思。题目中又给出了动点,若能联想到三角形,将这些向量转化成三角形,即题目表达的就是三角形边上一个动点,这是本题中将“数”转换为“形”非常重要的一步。

  对于待求问题,还需要继续转化,三角形边很好使用向量表达出来,向量q加上向量边表达的就是Q点到三角形三个顶点的距离。因前面有比例系数,因此要考虑搭建“桥梁”,从而实现将其“消元”的目的。要实现这一目的,我们“观察+分析”一下待求量的结构(这一步非常重要,即高考考察的“数感”)。

  联想一下与我们学过的知识,那个知识点与其类似?显然是三角形“四心问题”之一的“内心问题”。通过三角形内心与定点向量关系可以待求式转化为Q点到三角形内心的距离问题。(自己动手做一下)

  反思一下,要通过画图快速搞定这一个题目,首先要熟练的将“数、式”转化成“图形”,其次要掌握三角形“四心”与向量之间的转化,这也是本题的解题目标和方向。没有这些基础,是不会画图的,这道题也就很难解答。

  另外,关于三角形的“四心”问题以及向量之间的转化或逆转化,需要额外补充一些知识;在圆锥曲线中证明“多点”共线、“多线”共点等问题则非常有用,也是高考中的难点之一。

  二、“形”到“数”转化的难点

  圆锥曲线的化简是令大家头痛的难点之一。圆锥曲线本身是以“形”形式出现,达到“消元化简”的目的。通常以“数”结合“形”的形式进行通盘考虑。圆锥曲线问题最为常见的形式就是题目中出现直线与圆锥曲线“交点”的情况。有交点就有坐标关系,有直线就有斜率关系。

  大家回顾一下,斜率的定和、定积问题,直线的定点、点的定线问题,以及距离、面积的最值问题等等。在圆锥曲线中的考察,本质上是不是交点、斜率问题。一个交点就有两个参数(横、纵)坐标,多个交点问题就有多个参数。

  圆锥曲线部分常用的简化方法,例如:齐次化,非对称韦达定理,仿射变换等等,均是联立方程,实现“消元”的目的。而要“消元”常规方法,计算量一般很大,所以延伸出一些“取巧”的方法。这些方法无一例外都是利用“整体”的思想,将点的坐标与直线的斜率进行相互转换。

  三、“数与形”的转化难点突破

  “观察与分析”以及随后的“总结归纳”是学好数学的核心要求。其中,“观察与分析”的实质是将问题转化为我们所期望的目标,并找出多个参数之间的关系。我们可以利用题目中给定的信息以及某一变量进行替代,从而解决最优化问题。

  观察与分析的目的在于确定解题过程中的目标和方向。当遇到复杂的多变量问题,比如动点问题等,我们需要展开充分的联想,设想我们想要什么,然后想尽办法去实现。在不等式章节中,关于“配凑”的练习最为频繁。因此,可以看出高中数学是一环套一环的,如果在任何一个环节出现了掉队,都可能导致整体的困难加深。这也是高考数学“两极”分化的重要原因之一。


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