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小学鸡兔同笼、以及植树问题等常见的一些应用题专项训练!满分必备!

小学资讯 来源:网络 编辑:小蜜蜂 2019-07-24 15:31:08 浏览:

  小学生的数学比较的简单,但是就小学的孩子的理解能力来说,一些比较刁钻的问题还是非常的有难度的。就像经典的鸡兔同笼的问题,如果小学生学习了方程式的话,是很容易解出来的,但是小学阶段对于方程式还未接触,因此解答这样的问题的时候应该从他们的知识掌握程度来分析,在这样的层面上如何来解答鸡兔同笼的问题,也是在培养孩子的一种非常缜密的逻辑思维能力。下面就这一类的问题小编给大家整理了相关的训练题,家长可配合自己的孩子进行练习。

小学鸡兔同笼、以及植树问题等常见的一些应用题专项训练!满分必备!

  1、鸡兔同笼问题

  【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,求鸡、兔各有多少只的问题,叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差,求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

  【数量关系】第一鸡兔同笼问题:

  假设全都是鸡,则有

  兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)

  假设全都是兔,则有

  鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)

  第二鸡兔同笼问题:

  假设全都是鸡,则有

  兔数=(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2)

  假设全都是兔,则有

  鸡数=(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2)

  【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法,可以先假设都是鸡,也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡,然后以兔换鸡;如果先假设都是兔,然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设,再置换,使问题得到解决。

  例1 长毛兔子芦花鸡,鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五,脚数共有九十四。请你仔细算一算,多少兔子多少鸡?

  解:假设35只全为兔,则

  鸡数=(4×35-94)÷(4-2)=23(只)

  兔数=35-23=12(只)

  也可以先假设35只全为鸡,则

  兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)

  鸡数=35-12=23(只)

  答:有鸡23只,有兔12只。

  例2 2亩菠菜要施肥1千克,5亩白菜要施肥3千克,两种菜共16亩,施肥9千克,求白菜有多少亩?

  解:

  此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥(1÷2)千克”与“每只鸡有两个脚”相对应,“每亩白菜施肥(3÷5)千克”与“每只兔有4只脚”相对应,“16亩”与“鸡兔总数”相对应,“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜,则有

  白菜亩数=(9-1÷2×16)÷(3÷5-1÷2)=10(亩)

  答:白菜地有10亩。

  例3 李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本,作业本每本3.20元,日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本?

  解:

  此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本,则有

  作业本数=(69-0.70×45)÷(3.20-0.70)=15(本)

  日记本数=45-15=30(本)

  答:作业本有15本,日记本有30本。

  例4 (第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?

  解:

  假设100只全都是鸡,则有

  兔数=(2×100-80)÷(4+2)=20(只)

  鸡数=100-20=80(只)

  答:有鸡80只,有兔20只。

  例5 有100个馍100个和尚吃,大和尚一人吃3个馍,小和尚3人吃1个馍,问大小和尚各多少人?

  解:

  假设全为大和尚,则共吃馍(3×100)个,比实际多吃(3×100-100)个,这是因为把小和尚也算成了大和尚,因此我们在保证和尚总数100不变的情况下,以“小”换“大”,一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍(3-1/3)个。因此,共有小和尚

  (3×100-100)÷(3-1/3)=75(人)

  共有大和尚100-75=25(人)

  答:共有大和尚25人,有小和尚75人。

  2、方阵问题

  【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵),根据已知条件求总人数或总物数,这类问题就叫做方阵问题。

  【数量关系】(1)方阵每边人数与四周人数的关系:

  四周人数=(每边人数-1)×4

  每边人数=四周人数÷4+1

  (2)方阵总人数的求法:

  实心方阵:总人数=每边人数×每边人数

  空心方阵:总人数=(外边人数)-(内边人数)

  内边人数=外边人数-层数×2

  (3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算,则:

  总人数=(每边人数-层数)×层数×4

  【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多,其解答方法应根据具体情况确定。

  例1 在育才小学的运动会上,进行体操表演的同学排成方阵,每行22人,参加体操表演的同学一共有多少人?

  解:22×22=484(人)

  答:参加体操表演的同学一共有484人。

  例2 有一个3层中空方阵,最外边一层有10人,求全方阵的人数。

  解:10*10-(10-3×2)*(10-3×2)=84(人)

  答:全方阵84人。

  例3 有一队学生,排成一个中空方阵,最外层人数是52人,最内层人数是28人,这队学生共多少人?

  解:

  (1)中空方阵外层每边人数=52÷4+1=14(人)

  (2)中空方阵内层每边人数=28÷4-1=6(人)

  (3)中空方阵的总人数=14×14-6×6=160(人)

  答:这队学生共160人。

  例4 一堆棋子,排列成正方形,多余4棋子,若正方形纵横两个方向各增加一层,则缺少9只棋子,问有棋子多少个?

  解:

  (1)纵横方向各增加一层所需棋子数=4+9=13(只)

  (2)纵横增加一层后正方形每边棋子数=(13+1)÷2=7(只)

  (3)原有棋子数=7×7-9=40(只)

  答:棋子有40只。

  例5 有一个三角形树林,顶点上有1棵树,以下每排的树都比前一排多1棵,最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树?

  解:

  第一种方法:1+2+3+4+5=15(棵)

  第二种方法:(5+1)×5÷2=15(棵)

  答:这个三角形树林一共有15棵树。

  22、商品利润问题

  【含义】这是一种在生产经营中经常遇到的问题,包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。

  【数量关系】利润=售价-进货价

  利润率=(售价-进货价)÷进货价×100%

  售价=进货价×(1+利润率)

  亏损=进货价-售价

  亏损率=(进货价-售价)÷进货价×100%

  【解题思路和方法】简单的题目可以直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。

  例1 某商品的平均价格在一月份上调了10%,到二月份又下调了10%,这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何?

  解:

  设这种商品的原价为1,则一月份售价为(1+10%),二月份的售价为(1+10%)×(1-10%),所以二月份售价比原价下降了

  1-(1+10%)×(1-10%)=1%

  答:二月份比原价下降了1%。

  例2 某服装店因搬迁,店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元,已知衣服原来按期望盈利30%定价,那么该店是亏本还是盈利?亏(盈)率是多少?

  解:

  要知亏还是盈,得知实际售价52元比成本少多少或多多少元,进而需知成本。因为52元是原价的80%,所以原价为(52÷80%)元;又因为原价是按期望盈利30%定的,

  所以成本为52÷80%÷(1+30%)=50(元)

  可以看出该店是盈利的,盈利率为(52-50)÷50=4%

  答:该店是盈利的,盈利率是4%。

  例3 成本0.25元的作业本1200册,按期望获得40%的利润定价出售,当销售出80%后,剩下的作业本打折扣,结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣?

  解:

  问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知,每册的原定价是0.25×(1+40%),所以关键是求出剩下的每册的实际售价,为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差,即

  0.25×1200×40%×86%-0.25×1200×40%×80%=7.20(元)

  剩下的作业本每册盈利7.20÷[1200×(1-80%)]=0.03(元)

  又可知(0.25+0.03)÷[0.25×(1+40%)]=80%

  答:剩下的作业本是按原定价的八折出售的。

  例4 某种商品,甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%,甲店按30%的利润定价,乙店按20%的利润定价,结果乙店的定价比甲店的定价贵6元,求乙店的定价。

  解:

  设乙店的进货价为1,则甲店的进货价为1-10%=0.9

  甲店定价为0.9×(1+30%)=1.17

  乙店定价为1×(1+20%)=1.20

  由此可得乙店进货价为6÷(1.20-1.17)=200(元)

  乙店定价为200×1.2=240(元)

  答:乙店的定价是240元。

  3、存款利率问题

  【含义】把钱存入银行是有一定利息的,利息的多少,与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数;月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。

  【数量关系】年(月)利率=利息÷本金÷存款年(月)数×100%

  利息=本金×存款年(月)数×年(月)利率

  本利和=本金+利息

  =本金×[1+年(月)利率×存款年(月)数]

  【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。

  例1 李大强存入银行1200元,月利率0.8%,到期后连本带利共取出1488元,求存款期多长。

  解:

  因为存款期内的总利息是(1488-1200)元,

  所以总利率为(1488-1200)÷1200又因为已知月利率,

  所以存款月数为(1488-1200)÷1200÷0.8%=30(月)

  答:李大强的存款期是30月即两年半。

  例2 银行定期整存整取的年利率是:二年期7.92%,三年期8.28%,五年期9%。如果甲乙二人同时各存入1万元,甲先存二年期,到期后连本带利改存三年期;乙直存五年期。五年后二人同时取出,那么,谁的收益多?多多少元?

  解:

  甲的总利息[10000×7.92%×2+[10000×(1+7.92%×2)]×8.28%×3

  =1584+11584×8.28%×3=4461.47(元)

  乙的总利息10000×9%×5=4500(元)

  4500-4461.47=38.53(元)

  答:乙的收益较多,乙比甲多38.53元。

  4、溶液浓度问题

  【含义】在生产和生活中,我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂(水或其它液体)、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如,水是一种溶剂,被溶解的东西叫溶质,溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度,也叫百分比浓度。

  【数量关系】溶液=溶剂+溶质

  浓度=溶质÷溶液×100%

  【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。

  例1 爷爷有16%的糖水50克,(1)要把它稀释成10%的糖水,需加水多少克?(2)若要把它变成30%的糖水,需加糖多少克?

  解:

  (1)需要加水多少克?50×16%÷10%-50=30(克)

  (2)需要加糖多少克?50×(1-16%)÷(1-30%)-50=10(克)

  答:(1)需要加水30克,(2)需要加糖10克。

  例2 要把30%的糖水与15%的糖水混合,配成25%的糖水600克,需要30%和15%的糖水各多少克?

  解:

  假设全用30%的糖水溶液,那么含糖量就会多出600×(30%-25%)=30(克)

  这是因为30%的糖水多用了。于是,我们设想在保证总重量600克不变的情况下,用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样,每“换掉”100克,就会减少糖100×(30%-15%)=15(克)所以需要“换掉”30%的溶液(即“换上”15%的溶液)100×(30÷15)=200(克)

  由此可知,需要15%的溶液200克。

  需要30%的溶液600-200=400(克)

  答:需要15%的糖水溶液200克,需要30%的糖水400克。

  例3 甲容器有浓度为12%的盐水500克,乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中,混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中,混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中,使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。

  解:

  由条件知,倒了三次后,甲乙两容器中溶液重量相等,各为500克,因此,只要算出乙容器中最后的含盐量,便会知所求的浓度。下面列表推算:

  由以上推算可知,

  乙容器中最后盐水的百分比浓度为24÷500=4.8%

  答:乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。

  5、构图布数问题

  【含义】这是一种数学游戏,也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”,就是设计出一种图形;所谓“布数”,就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。

  【数量关系】根据不同题目的要求而定。

  【解题思路和方法】通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数,符合题目所给的条件。

  例1 十棵树苗子,要栽五行子,每行四棵子,请你想法子。

  解:

  符合题目要求的图形应是一个五角星。

  4×5÷2=10

  因为五角星的5条边交叉重复,应减去一半。

  例2 九棵树苗子,要栽十行子,每行三棵子,请你想法子。

  解:

  符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形,

  一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。

  例3 九棵树苗子,要栽三行子,每行四棵子,请你想法子。

  解:

  符合题目要求的图形是一个三角形,每边栽4棵树,三个顶点上重复应减去,正好9棵。

  4×3-3=9

  例4 把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和,有几种写法?请设计一种图形,填入这七个数,每个数只填一处,且每条线上三个数的和都等于12。

  解:

  共有五种写法,即12=1+4+712=1+5+612=2+3+7

  12=2+4+612=3+4+5

  在这五个算式中,4出现三次,其余的1、2、3、5、6、7各出现两次,因此,4应位于三条线的交点处,其余数都位于两条线的交点处。

  6、幻方问题

  【含义】把n×n个自然数排在正方形的格子中,使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等,这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。

  【数量关系】每行、每列、每条对角线上各数的和都相等,这个“和”叫做“幻和”。

  三级幻方的幻和=45÷3=15

  五级幻方的幻和=325÷5=65

  【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和(即幻和),其次是确定正中间方格的数,然后再确定其它方格中的数。

  例1 把1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数填入九个方格中,使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。

  解:

  幻和的3倍正好等于这九个数的和,所以幻和为

  (1+2+3+4+5+6+7+8+9)÷3=45÷3=15

  九个数在这八条线上反复出现构成幻和时,每个数用到的次数不全相同,最中心的那个数要用到四次(即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上),四角的四个数各用到三次,其余的四个数各用到两次。看来,用到四次的“中心数”地位重要,宜优先考虑。

  设“中心数”为Χ,因为Χ出现在四条线上,而每条线上三个数之和等于15,所以(1+2+3+4+5+6+7+8+9)+(4-1)Χ=15×4

  即45+3Χ=60所以Χ=5

  接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置,它们

  分别在四个角,再确定其余四个奇数的位置,它们分别

  在中行、中列,进一步尝试,容易得到正确的结果。

  例2 把2,3,4,5,6,7,8,9,10这九个数填到九个方格中,使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。

  解:

  只有三行,三行用完了所给的9个数,所以每行三数之和为

  (2+3+4+5+6+7+8+9+10)÷3=18

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