高考数学成绩想考140+，必须通过高强度的训练来提升对知识的灵活运用能力。只有在理解透彻的基础上，才能确保取得出色的成绩。另外，所选的练习题目具有极高的代表性，是典型的例题。务必要深入理解，确保将其弄懂弄透，这样的深度理解和充分训练是取得优异成绩的必要条件。

　　已知函数f（x）=ln（x）-a（x-1/x），a>0。

　　（1）讨论f（x）极值点的个数。

　　（2）若f（x）恰有三个零点且x1<x2<x3和两个极值点且t1<t2。

　　①证明：f（x1）+f（x2）=0。

　　②若m<n,且mln（m）=nln（n），证明：[（1-m）e^（-m）]/x1x2x3>n[ln（n）+1]

　　简单回顾一下，对于第一问，我们使用的数学思想是对于直接法（求导）+参数a进行分类讨论。这里之所以不进行分离参数，是因为参数的范围已经给出，题目要求解的是极值个数，而极值个数+超越函数也很容易想到借助求导从而研究函数单调性获得相关极值点。

　　这里拓展一下，题目的条件a>0，变为f（x）恰有3个零点，求参数a的范围。什么时候才会出现恰有三个零点呢？我们观察一下f（x）存在x=1时，f（x）=0。这个要观察出来（特殊值法！）。除此以外，若f（x）存在2个极值点，且这两个极值点异号（自己研究一下极值点与零点的关系，和其关联的充分必要条件。非常重要！非常重要！非常重要）。

　　那么，极值点异号怎么理解呢？即转化为f（x）在极值点处函数值的符号。进而转化为通过函数单调性研究结合函数的取值获得。

　　也就可以通过数形结合的思想，通过研究y=lnx与y=a（x-1/x）交点个数。注意到y=x-1/x是一个比较特殊函数，可以借助对钩函数来理解。这里要特别熟悉参数a对y=x-1/x函数的影响。

　　对于第二问的第一小问，使用的数学思想是消元思想，通过找到关系x1=1/x，带入f（x）即可，关键在于对于题意的理解。对于这一问有疑惑的可以查阅前面的文章，看一下上篇文章。

　　现在我们来研究一下第三问。这个问题相对较为复杂。题目规定了恰好有三个零点，对于这类问题，通常需要对根的分布情况进行判断（直接求解超越方程比较困难）。一般来说，我们可以利用函数的单调性来大致判断根的位置（当然，有些情况也可以尝试进行因式分解，但显然，这道题因式分解的可能性较小）

　　在第二问的第一小问中，我们已经获得了f（t1）=f（1/t1），t1=1/t2，即t*t2=1。且判断出了a<1/2（当然a>0），并且分析出了x2=1。对于x1，x2，x3的分布范围，我们也容易得到，x1<t1<x2=1<t2<x3，进而推导出x1*x2*x3=1。即由范围获得了x1*x2*x3为一个定值。这样的题目，使用的数学思想即消元思想，而且一般是一个定值（高考遇到了别慌！），能分析到这里，这个问题也就不难了。

　　由问题出发，先观察待求量：[（1-m）e^（-m）]/x1x2x3>n[ln（n）+1]，这里面含有m和n，必然先要找到m、n之间的关系。而题目中又给出了m<n，mln（m）=nln（n），命题人通过这个式子想告诉我们的是什么？当然是m和n的关系了。这个关系怎么找呢？当然是研究xln（x）函数了，对其求导可以得出h（x）在（0,1/e）单调减，在（1/e,+∞）单调增。

　　且当x=1时，h（x）=0。那么要使的mln（m）=nln（n），m和n只能存在关系为0<m<1/e<n<1。这里要注意的是：m，n与自变量x是如何联系起来的。

　　要证：[（1-m）e^（-m）]/x1x2x3>n[ln（n）+1]，即证（1-m）e^（-m）> ln{n[ln（n）+1]}，有e有ln优先考虑同构。左边改写一下，等价于ln（1-m）-m>ln[ln（n）+1]+lnn,统一变量构造函数，等价于ln（1-m）+1-m>ln+1+ln（lnn+1）。令g（x）=ln（x）+x，研究其单调性。即只需证：1-m>ln（n）+1。现在就想办法去掉ln（n），对于ln（n）+1，我们应该很熟悉，放缩的逆运用，ln（n）+1<n，即只需证1-m>n，即m+n<1，因为前面我们分析了得出了0<m<1/e<n<1。

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