新高考对于相关概念的理解提出了更高的要求！本节结合相关的案例，针对同学们普遍存在的导数理解偏差予以说明。概念理解透了，做起题来也就得心应手了。

　　案例一： 如下图：分段函数的单调性

　　【错解】f（x）是一个分段函数x>1时，f’（x）>0；0<x<1时，f’（x）=0；x<0时，f’（x）>0，推出f’（x）≥0。所以说f（x）在整个定义域内单调递增。

　　【错在哪里】导数判断的是连续区间，这也是定义中给出的在区间内可导的意义！分段后则不一定连续，所以要验证端点值。高考的综合导数题也会出一些端点效应的题目（使用洛必达法则求解更为方便）

　　案例二：y=f（u），u减小，y增大；u=g（x），x增大，u增大；那么y=f（g（x））的单调性是？

　　复合函数单调性：内外函数单调性相同，复合为增，内外函数单调性相反，复合为减。

　　这里要说明的是，只需要分别判断内层和外层函数的单调性是否相同，而具体的是内层增还是外层减，亦或是内层减外层增，则复合起来的函数都是递减函数。

　　【特别注意外层函数的定义域是内层函数的值域，不要随意扩大外层函数的定义域】

　　高考题目会怎样出？

　　案例三：已知f（x）=x^3+ax+b对任意的x1，x2，在（0,√3/3），且x1!=x2，都有|f（x1）-f（x2）|<|x1-x2|，求a。

　　【解析一】本题是一个典型的存在性问题，历年高考涉及的较多。解题的关键（题眼）就是|f（x1）-f（x2）|<|x1-x2|。容易看出的就是|f（x1）-f（x2）|/|x1-x2|=|f’（x）|<1。这里利用|f’（x）|的范围，并结合x的范围，可以解出来。难点就是怎么理解“任意的x1，x2”。

　　【解析二】本题换种思路来解决。构造函数。设x1>x2，则|f（x1）-f（x2）|<|x1-x2|，脱去绝对值可以转化为x2-x1<f（x1）-f（x2）<x1-x2，进一步变形为：f（x2）+x2<f（x1）+x1①式 和 f（x1）-x1<f（x2）-x2 ②式。构造函数g（x）=f（x）+x，在（0,√3/3）单调递增；构造函数m（x）=f（x）-x，在（0,√3/3）单调递减。g’（x）≥0且m’（x）≤0，从而解得a的范围。

　　这里要特别提醒大家注意的是，变量的归一思想，想一想为什么要将含x1和x2的分别移动到不等式的两边。这也是平常我们做题时常用的思想。

　　【解析三】数形结合，充分利用割线与切线。这里需要提一下“拉个朗日中值定理”：若函数f（x）在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有ξ €（a，b），使得f’（ξ）=[f（b）-f（a）]/（b-a）。那么上题我们先设x1<x2，转化为在（0,√3/3）存在一点设为x0，使得f’（x0）=[f（x2）-f（x1）]/[x2-x1]成立。而x0的范围就是x的范围，要是的x范围内所有点满足，显然是一个恒成立问题。即|f’（x0）|<1，满足。结合看一下f’（x）的单调性，和f’（x）的范围，找到极值点对应的x值带入f’（x），即可求出a值。

　　这里要特别注意的是，很多同学直接讲x的范围的端点（0,√3/3）带入了f’（x）中，获得结果一般来讲是不正确的，高考题一般不会让f‘（x）只具有简单的单调性，至少是复杂一点的二次函数。

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